cours d'analyse mathématique
positifs; on suppose de plus que la lonclion y"(j:, )') salisfail à la
condition de Lipschitz dans ce domaine, relativement îi y. Pour
obtenir les intégrales du système (.>), qui prennent respectivement
les valeurs j>--o et Sq pour x = Xq-, il est naturel de procéder comme
il suit. Ou cliercliera d ahord l'inlégrale de la première équation
qui est égale à y^ pour x := j^o- Ji^n' !•» mélhoile de M. Picard par
exemple. Soit V(x) celte intégrale qui est continue dans un inter-
valle {xq, Xo-\-h)i II étant un nombre positif '^(i. Pv.emplaçant
ensuite jK par ^ (■^) ^bins '-^{x^ y) et <!j{x, y), on obtiendra par deux
quadratures l'intégrale 7^{x) de la seconde équation qui prend la
valeur ^o pour x ^ ^r,,.
Mais ou pouirail aussi appliquer la méthode des approximations
successives au svstème (.5) tout entier en prenanl^)'o pour première
valeur approchée de I', et une constante quelconque K pour pre-
mière valeur aj)j)rocliée de z, ce qui conduit à poser
J^i=ro+ / f{i,.ro)d/, Zi = Zo-^ I ['^(/, J'o)K^-■}(^ jo)]«^<,
et, en général,
r«(^)=r»+ 1^ f[f, yn-i{f)]di,
Lorsque n croît indéfiniment, j)^/, tend uniformément vers Y(x)
dans l'intervalle (X(,, Xo+ h); nous voulons montrer que z„ tend
aussi uniformément \ ers Z(a'). lien est certainement ainsi, d'après
le théorème général (n" 389), si 's>{x^y) et 'K.r, j-" ) satisfont à une
condition de Li|)scliitz r(;lativement à j', mais cette dernière hypo-
thèse est inutile, cl il suKil de supposer les fondions '^[x, y)
et •\j{Xiy) continues. Xous avons eu eflet
Z{x) = Zo+ f o[t,\(t)\Z(()c/t-^ f 'lit, \i ()]</(:
eu conip;u;inl celte loiinule ;'i (die (pu donne z„i^X^y il \ieul
Z(x) — zjx)= f ;-^l/, \{()\Z(l) — '^[/,yn-^{f)]z„.i(t)\cù
+ f l'W^ \(f)\--!^[(.,rn-:(n][<ft.
fi nivpiTni: xxiii. — intégrales infi>m.mknt voisinks.
ce que nous pouvons encore écrire, en posant
Z(.r) — -„(j')-= o„{ar),
o„(x)= f '^[/, v„_,(0]5„-,(/)c//-r- f \o[t,\(/)]-'i\i,y„-,it)\\ZU)dt
Le coefficient de o,,_,(/) sous le signe / est jtlus petit en valeur
absolue qu'un nombre jîositif M, car y„_,(/) reste compris entre
l'„ — el yo-r- ù[ dr.iitro pai't, la somme des autres termes sous
le signe / tentl uriil(inu<''ment vers zéro bjrsqiie// augmente indé-
finiment. j)uis(pic v„ Icnd unildiinéuient \ers \. Cela étant, choi-
sissons un ii()iul)re entier /> tel (pie la valeur abs(tlue de
condition de Lipschitz dans ce domaine, relativement îi y. Pour
obtenir les intégrales du système (.>), qui prennent respectivement
les valeurs j>--o et Sq pour x = Xq-, il est naturel de procéder comme
il suit. Ou cliercliera d ahord l'inlégrale de la première équation
qui est égale à y^ pour x := j^o- Ji^n' !•» mélhoile de M. Picard par
exemple. Soit V(x) celte intégrale qui est continue dans un inter-
valle {xq, Xo-\-h)i II étant un nombre positif '^(i. Pv.emplaçant
ensuite jK par ^ (■^) ^bins '-^{x^ y) et <!j{x, y), on obtiendra par deux
quadratures l'intégrale 7^{x) de la seconde équation qui prend la
valeur ^o pour x ^ ^r,,.
Mais ou pouirail aussi appliquer la méthode des approximations
successives au svstème (.5) tout entier en prenanl^)'o pour première
valeur approchée de I', et une constante quelconque K pour pre-
mière valeur aj)j)rocliée de z, ce qui conduit à poser
J^i=ro+ / f{i,.ro)d/, Zi = Zo-^ I ['^(/, J'o)K^-■}(^ jo)]«^<,
et, en général,
r«(^)=r»+ 1^ f[f, yn-i{f)]di,
Lorsque n croît indéfiniment, j)^/, tend uniformément vers Y(x)
dans l'intervalle (X(,, Xo+ h); nous voulons montrer que z„ tend
aussi uniformément \ ers Z(a'). lien est certainement ainsi, d'après
le théorème général (n" 389), si 's>{x^y) et 'K.r, j-" ) satisfont à une
condition de Li|)scliitz r(;lativement à j', mais cette dernière hypo-
thèse est inutile, cl il suKil de supposer les fondions '^[x, y)
et •\j{Xiy) continues. Xous avons eu eflet
Z{x) = Zo+ f o[t,\(t)\Z(()c/t-^ f 'lit, \i ()]</(:
eu conip;u;inl celte loiinule ;'i (die (pu donne z„i^X^y il \ieul
Z(x) — zjx)= f ;-^l/, \{()\Z(l) — '^[/,yn-^{f)]z„.i(t)\cù
+ f l'W^ \(f)\--!^[(.,rn-:(n][<ft.
fi nivpiTni: xxiii. — intégrales infi>m.mknt voisinks.
ce que nous pouvons encore écrire, en posant
Z(.r) — -„(j')-= o„{ar),
o„(x)= f '^[/, v„_,(0]5„-,(/)c//-r- f \o[t,\(/)]-'i\i,y„-,it)\\ZU)dt
Le coefficient de o,,_,(/) sous le signe / est jtlus petit en valeur
absolue qu'un nombre jîositif M, car y„_,(/) reste compris entre
l'„ — el yo-r- ù[ dr.iitro pai't, la somme des autres termes sous
le signe / tentl uriil(inu<''ment vers zéro bjrsqiie// augmente indé-
finiment. j)uis(pic v„ Icnd unildiinéuient \ers \. Cela étant, choi-
sissons un ii()iul)re entier /> tel (pie la valeur abs(tlue de
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